2016-2017年高三数学（理）上期中试题(含答案)
据开学已经过去半个学期之久了，意味着期中考试也到来了!下面是小编整理的2016-2017年高三数学（理）上期中试题，欢迎阅读!
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
3.以下判断正确的是 ( )
.函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值 点的充要条件
.命题“ ”的否定是“ ”
C.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件
D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆命题为假命题
4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )
A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3
5.由曲线 ，直线 及坐标轴所围成图形的面积为
( )
A. B. C. D.
6.设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 ( )
A. B. C. D.
7.我国古代数 学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( )
A. B. C. D.
8.设 ，则 ( )
A. B. C. D.
9.已知函数 ，则 的图象大致为 ( )
A B C D
10.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的
图象重合，则 的值为 ( )
A¬. B. C. D.
11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 . 若直线y= 与椭圆 的一个交点M满足 ，则该椭圆的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
12.已知定义在R上的函数 满足： 且 ， ，则方程 在区间 上的所有实根之和为 ( )
A. B . C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20分.
13.已知向量 .
14.已知 ，则 .
15.已知 满足约束条件 若 的最小值为 ,则 .
16.在 中，内角 的对边分别为 ,已知 , ，
则 面积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点，且 ∥平面 .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
随着苹果7手机的 上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 35 25
10
已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的利润，求 的分布列及数学期望 .
20.(本小题满分12分)
已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点
(Ⅰ)证明：抛物线 在点 的切线与 平行;
(Ⅱ)是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ?若存在，求 的值;若不存在，说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)设两个极值点分别为 ，证明: .
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
兰州一中2016-2017-1学期期中考试
高三数学试题参考答案(理科)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B C C A C A B D B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
解：(Ⅰ) …4分
∴ 的最小正周期为 ， ……5分
令 ，则 ，
∴ 的对称中心为 ……6分
(Ⅱ)∵ ∴ ......8分
∴ ∴ .......10分
∴当 时， 的最小值为 ;当 时， 的最大值为 ……12分
18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点， 且 ∥平面 .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
解：(Ⅰ)连接 交 于 ，连接 .
∵ ∥平面 ， 面 ，面 面
∴ ∥ ……………2分
又∵ 为 的中点，
∴ 为 中点∴ 为 中点 ……………4分
∴ ∴ ……………5分
(Ⅱ)∵在直三棱柱 中，
∴ ……………6分
以 为坐标原点，以 , 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。
由(Ⅰ)知 为 中点
∴点 坐标分别为
， ， ，
设平面 的法向量
∵ 且
∴ 取 ∴ ……………8 分
同理：平面 的法向量 ……………10分
设二面角 平面角为
则 ， ∴ ……………12分
19.(本小题满分12分)
随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 35 25
10
已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5 期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的 利润，求 的分布列及数学期望 .
解：(Ⅰ)由 ，得 因为 所以 ………3分
………6分
(Ⅱ)设分期付款的分期数为 ，则
…8分
的所有可能取值为1000，1500，2000.
………10分
所以 的分布列为
1000 1500 2000
P 0.35 0.4 0.25
………12分
20.(本小题满分12分)
已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点
(Ⅰ)证明：抛物线 在点 的切线与 平行;
(Ⅱ)是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ，若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)解法一：设 ， ，把 代入 得 ，
得 .
∵ ， 点的坐标为 . ………………………2分
∵ ∴ ，
即抛物线在点 处的切线的斜率为 . ………………………4分
∵直线 : 的的斜率为 ，∴ . ……………………6分
解法二：设 ， ，把 代入 得 ，
得 .
∵ ， 点的坐标为 . …… ………………2分
设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，
将 代入上式得 ， ………………………4分
直线 与抛物线 相切， ， ， 即 . …………………6分
(Ⅱ)假设存在实数 ，存在实数 使 为直径的圆 经过点 .
是 的中点， .
由(Ⅰ)知
轴， . …………………8分
∵
. ……………………10分
，∴ ，
故，存在实数 使 为直径的圆 经过点 . ………………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当 时，求 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)设两个极值点分别为 ，证明: .
解：(Ⅰ)当 时， ;
函数 的定义域为 ，
当 时， ;当 时， .
所以， 在 上单调递减;在 上单调递增. ………………4分
(Ⅱ) (ⅰ)依题意，函数 的定义域为 ，
所以方程 在 有两个不同根.
即，方程 在 有两个不同根.
(解法一)转化为，函数 与函数
的图像在 上有两个不同交点，如图.
可见，若令过原点且切于函数 图像的直线斜率为 ，
只须 . ………………6分
令切点 ，所以 ，又 ，所以 ，
解得， ，于是 ，
所以 . ………………8分
(解法二)令 ，从而转化为函数 有两个不同零点，
而 ( )
若 ，可见 在 上恒成立，所以 在 单调增，
此时 不可能有两个不同零点. ………………5分
若 ，在 时， ，在 时， ，
所以 在 上单调增，在 上单调减，
从而 ………………6分
又因为在 时， ，在在 时， ，于是只须：
，即 ，所以 . ………………7分
综上所述， ………………8分
(ⅱ)由(i)可知 分别是方程 的两个根，
即 ， ，
不妨设 ，作差得， ，即 .
原不等式 等价于
令 ，则 ， ………………10分
设 ， ，
∴函数 在 上单调递增，
∴ ，
即不等式 成立，
故所证不等式 成立. ………………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
解：(1)由 消去参数 得，曲线 的普通方程得 .....3分
由 得，曲线 的直角坐标方程为 ....5分
(2)设 ，则点 到曲线 的距离为
...........8分
当 时， 有最小值0，所以 的最小值为0 .............10分
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
解：(Ⅰ)因为 ，
所以 等价于 ，
由 有解，得 ，且其解集为 .
又 的解集为 ，故 ............5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，又 ， ∴ ≥ =9.
(或展开运用基本不等式)